ahí - ¡ay! - hay

1. Ahí es un adverbio de lugar similar a allí.

El diccionario está ahí, por favor úsalo.

2. Ay es una interjección usada para expresar dolor o pena. 

¡Ay! ¿¡Por qué no usas el diccionario!?

3. Hay es el presente del modo indicativo del verbo haber. El verbo haber siempre va acompañado de otro verbo (yo he jugado, ustedes hubiesen aprendido), pero en el caso de hay es una forma impersonal. Esto quiere decir que se puede usar solo, para indicar la presencia de algo ("hay mucha gente en el estadio") o la necesidad de hacer algo ("hay que comprar pan").

Hay que usar el diccionario.

Imágenes obtenidas del recomendadísimo sitio alphabeto.